In questa pagina sono illustrati gli algoritmi e le formule che il software Jasp utilizza per la verifica delle shell (lastre-piastre) in cemento armato. Jasp effettua la verifica delle armature longitudinali, la verifica del calcestruzzo per le tensioni parallele alla piastra e la verifica per le sollecitazioni di taglio-punzonamento.

Sono di seguito descritti gli algoritmi utilizzati e le verifiche effettuate per la verifica degli elementi shell.

•Algoritmi e formule di verifica

oArmatura longitudinale

oCalcestruzzo

oTaglio-punzonamento

•Tabelle risultati verifiche

oPresso-tenso-flessione SLU

oTaglio-punzonamento

oTensioni di esercizio

oFessurazione


Algoritmi e formule di verifica

Ipotizziamo, senza ledere la generalità,  che le armature siano disposte lungo gli assi locali x e y (figura seguente)

shell

In caso contrario, per le verifiche delle piastre, Jasp modifica il sistema di riferimento delle verifiche e si riporta al caso precedente.

Verifica armatura longitudinale

Nel caso di lastra le sollecitazioni di verifica delle armature sono calcolate come indicato nell'appendice F EC2-2005, ovvero, a vantaggio di sicurezza con le seguenti espressioni:

n'dx = nEdx + |nEdxy|           (1a)

n'dy = nEdy + |nEdxy|           (1b)

con nEdy positiva se di trazione. 

Nel caso di piastra i momenti di verifica delle armature sono calcolati, a vantaggio di sicurezza, con le seguenti espressioni [1] [2]:

m'dx = m Edx±  |mEdxy|           (2a)

m'dy = m Edy±  |mEdxy|           (2a)

Nel caso generale sono utilizzate entrambe le sollecitazioni calcolate con le (1) e le (2), e la verifica è eseguita a presso-tenso-flessione.

Verifica calcestruzzo

Per la verifica del calcestruzzo il software ricerca le direzioni principali di compressione superiore e inferiore. Per le 4 direzioni trovate si esegue la verifica a pressoflessione.

Per il solo fine di verifica del calcestruzzo, nella generica sezione con direzione φ, si considera presente l'armatura:

Asφ = Asx cos²  φ + Asy sen²  φ           (3)

utilizzando sostanzialmente il metodo della linea di rottura di Johansen [3].

Il procedimento appena illustrato è utilizzato sia per le verifiche SLU che per le verifiche SLE .
Nel caso di verifiche SLU, a rigor di logica, è necessaria la verifica di eventuali puntoni di calcestruzzo che si possono creare per effetto di un modello locale puntone-tirante [4][5][6].

Nel caso di lastre la verifica dei puntoni di calcestruzzo è effettuata con la formula:

ncd = 2 | nEdxy| <  ν ·fcd·h                      (F.4 EC2-2005 )

Nel caso generico, per la verifica dei puntoni di calcestruzzo, si utilizza il modello a sandwich descritto nell'allegato LL EC2 -2005 parte 2, formule: (LL.137) – (LL.142).

Verifica a punzonamento

La verifica a punzonamento è effettuata come indicato nel § 6.4 dell'EC2-2005, utilizzando, a vantaggio di sicurezza, le sollecitazioni di taglio puntuali calcolate con il modello FEM elastico lineare anziché le distribuzioni calcolate ipotizzando il comportamento plastico della piastra.

Calcolando le sollecitazioni di taglio puntuali con il modello FEM elastico, si ottengono tensioni massime più alte rispetto alle tensioni calcolate con il modello plastico dell'EC2.

Nel caso di verifica del calcestruzzo senza specifica armatura a taglio è utilizzata la seguente formula, che generalizza le formule (6.47) e (6.49) dell'EC2:

(4)

dove a è la distanza dal pilastro.

Nel caso di in cui è presente specifica armatura a taglio la formula di verifica , ottenuta a partire dalla [(6.52) EC2-1-1], e dalla [(6.38) EC2-1-1] è:

 (5)

Definendo us il perimetro posto a distanza 0,5d dal pilastro, ovvero il primo perimetro di chiodi, e moltiplicando per per u1/us si ottiene:

(6)

Definendo:

ρw= Asw/ (us·sr) = As/( sr·st) = rapporto geometrico di armatura a taglio sul perimetro us posto a distanza 0,5d

ν s = β VEd/(usd) = tensione massima di taglio a distanza 0,5d dal pilastro [(6.38) EC2-2005]

la (6) diventa:

ν s ≤ 1,5 ρw sinα fywd,ef  + 0,75 (u1/ us)vRd,c                  (7)

tenendo presente che (u1/ us) > 1 Jasp per le verifiche adotta , a vantaggio di sicurezza, la formula seguente:

ν s ≤ 1,5 ρw sinα fywd,ef  + 0,75vRd,c                  (8)

che è la formula utilizzata da Jasp (per maggiori dettagli vedere documento: [7])

I punti in cui Jasp effettua le verifiche sono:

a)Tutti i nodi delle shell

b)Tutti i punti medi tra 2 nodi delle shell

c)Tutti i punti al centro di una shell

d)Alcuni punti posti sul bordo dei pilastri

e)Alcuni punti che distano 0,5d dai pilastri

f)Alcuni punti che distano d dai pilastri

g)Alcuni punti che distano 1,5d dai pilastri

h)Alcuni punti che distano 2d dai pilastri.

Per i punti e,f,g,h Jasp effettua le sole verifiche a taglio-punzonamento.


Tabelle risultati verifiche

Per ogni punto di verifica sono prodotte le seguenti tabelle.

Geometria Punto

Le tabella geometria riporta la geometria del punto di verifica.

In particolare:

c = copriferro medio in asse. Assunto, per semplicità, uguale delle 2 direzioni.


Verifiche

La tabella verifiche riporta il riassunto dei risultati di verifica. Cliccando sul risultato totale (NO o SI) è possibile vedere i dettagli delle verifiche.

Verifiche SLU

La tabella “Verifiche SLU” riporta, per ogni combinazione di carico, i risultati di tutte le verifiche agli SLU eseguite.

In particolare sono riportate:

•Le sollecitazioni nel sistema di riferimento locale della piastra

•Le verifiche dell'armatura per le sollecitazioni di pressoflessione

•Le verifiche del calcestruzzo per le sollecitazioni di pressoflessione

•Il coefficiente di verifica per le sollecitazioni di taglio- punzonamento.

•Il coefficiente totale di verifica

Cliccando sul coefficiente totale di verifica sono visualizzate i dettagli delle verifiche per la combinazione di carico scelta.

Dettaglio verifiche presso-tenso-flessione

In questa tabella sono riportati i risultati delle seguenti verifiche:

•Verifica dell'armatura nelle 2 direzioni sulle 2 facce (4 verifiche).

•Verifiche del calcestruzzo nelle 2 direzioni principali di compressione superiore e nelle 2 direzioni principali di trazione inferiore (4 verifiche).

In caso di acciaio compresso o calcestruzzo teso i coefficienti di verifica non sono calcolati.

Tutti i valori sono calcolati puntualmente, ma per la costruzione di questa tabella ci si riferisce ad una fascia di piastra larga 1m.


Dettaglio verifiche di Taglio-Punzonamento

In questa tabella sono riportati i dettagli delle verifiche di Taglio-Punzonamento.

•Angolo [°]. Angolo di verifica. Indica la direzione normale al piano di verifica.

•V [N]. Valore del taglio V nel piano di verifica. L'unità di misura è N e non N/m perché, anche se il valore è calcolato puntualmente, per la costruzione di questa tabella ci si riferisce ad una fascia larga 1m.

•V medio [N]. La verifica (6.53 EC2) richiede il calcolo della tensione sul bordo del pilastro. Calcolare tale tensione con modelli FEM richiede notevole complessità. Un calcolo puntuale di tale tensione, con un modello FEM semplificato, potrebbe risultate oltremodo penalizzante. Per calcolare la tensione sul bordo del pilastro di un punto di verifica, Jasp effettua la media delle tensioni tangenziali di tutti i punti di verifica del modello che sono posti sul bordo del pilastro e si trovano ad una distanza dal punto in oggetto minore della metà della dimensione minima del pilastro.

•N [N]. Sforzo normale nella sezione di verifica

•d [m]. Altezza media utile.

•Asl [mm2] = Armatura tesa. Armatura superiore se il momento è negativo, inferiore altrimenti. Per calcolare tale armatura Jasp utilizza la [ (LL.123) EC2 parte 2], che coincide con la (3)

•a = distanza pilastro. è riportato il coefficiente del risultato della verifica V / (vrd·d) < 1. Il calcolo di vrd è fatto ponendo a pari alla distanza dal pilastro.

oa [m]. Distanza dal pilastro

ocoef_cP = V/(vRd·d)

•a = distanza chiodi. Questa verifica è effettuata se tra il punto in oggetto (privo di armatura a taglio) ed il pilastro più vicino è posta una zona con specifica armatura a taglio. La verifica è effettuata se la zona armata a taglio arriva fino al bordo del pilastro.        
L'EC2 propone di effettuare le verifiche solo se ds ≥ 1,5d [§ 6.4.5 (4)], dove ds è la distanza tra il punto in oggetto e l'armatura a taglio.        
Jasp, per generalizzare, riapplica la (4) per il calcolo della resistenza, ma pone a = ds +0,5d , in modo che sul perimetro di verifica suggerito dal (EC2 § 6.4.5 (4)) sia riapplicata la stessa formula proposta dall'EC2.

oa [m] = ds +0,5d

ocoef_cC = V/(vRd·d)

•a = 2d. Verifica V/(vRd·d) < 1 con a = 2d.

oa [m] = 2d

ocoef_2d = V / (vrd·d)

•Chiodi.

ocoef_S. Risultato della verifica V/(vRd,sc d) < 1. Tale verifica è significativa se è presente armatura a taglio. Questa verifica non è effettuata se il punto dista meno di 0,5d dal pilastro (figura 9.10a EC2).

oρw. ρw = rapporto geometrico di armatura a taglio.

•V/VRdMax = Risultato della verifica V/(vRd,max·d) [6.53 EC2]. Questa verifica è effettuata, per semplicità di calcolo,solo nei punti posti sul bordo di un pilastro, e per completezza nei punti che distano più di 2d dal pilastro.

•Tot. Coefficiente totale = Max{ Min{coef_cP ; coef_cC ; coef_2d ; coef_S} ; V/(vRd,sc d) }



Verifiche tensioni di esercizio

Questa tabella riporta il riassunto delle verifiche delle tensioni di esercizio. Cliccando sul coefficiente totale di verifica è possibile vedere i dettagli delle verifiche.

Dettaglio verifiche tensioni di esercizio

Per ogni combinazioni di carico sono riportati i risultati delle 8 verifiche eseguite.


Verifiche fessurazione

Questa tabella riporta il riassunto delle verifiche a fessurazione. Cliccando sul coefficiente totale di verifica è possibile vedere i dettagli delle verifiche.

Le verifiche per lo stato limite di fessurazione sono fatte per le 2 facce e per le 2 direzioni delle armature. Per maggiori dettagli vedere [7].


[1]: P.Gambarova ed altri "Linee guida per la progettazione delle piastra in C.A.", 2007, Cap.3 , pagg. 31-33 - Pàtron Editore

[2]: Favre, Jaccoud, Koprna, Radojicic, Progettare In Calcestruzzo Armato § 5.1.7 pag 182, Hoepli 1994

[3]: KW Johansen "Yield-line theory", London, Cement and Concrete Association, 1962

[4]: EC2 2005 (UNI EN 1992-1-1) - Appendice F

[5]: EC2 2005 (UNI EN 1992-2) - Appendice LL

[6]: Calvi, Nascimbene. Progettare Gusci §4.6.1.2 pag 327, IUSS Press 2011

[7]: http://www.ingegnerianet.it/manuale_jasp/stato_limite_fessurazione.pdf