Il codice
Jasp è interamente scritto in Java, la compilazione è fatta con Excelsior JET.
La parte grafica 3D è realizzata con Java3D con libreria grafica DirectX.
Soluzione numerica
Per ogni elemento di tipo beam (trave o pilastro) si utilizza il seguente sistema di equazioni:
 |
(1) |
dove:
A = area della sezione del beam
Iz = Inerzia della sezione del beam rispetto l’asse baricentrale
I2 = Inerzia rispetto l’asse x della sezione del beam
I3 = Inerzia rispetto l’asse y della sezione del beam
L = Lunghezza dell’elemento beam
E = Modulo di elasticità del materiale del beam;
G = Modulo di elasticità trasversale del materiale del beam;
Si può osservare che si trascura la deformazione da taglio.
La (1) può essere scritta in forma compatta:
| fb = Kb ub | (2) |
Il sistema di equazioni (1) è scritto nell’ipotesi che il sistema di riferimento abbia l’origine nel primo nodo del beam e l’asse x coincidente con il beam.
Per ricavare le forze e gli spostamenti nel sistema di riferimento globale si utilizza la matrice delle rotazioni L:
f = L 
fb
u = L ub
quindi moltiplicano per LT e considerano che LT L coincide con la matrice identità I si ha:
fb = LT f
ub = LT u
sostituendo fb e ub nella (2) di ottiene:
LT f =Kb LT u
moltiplicando per L si ha:
L LT f = L Kb LT u
ovvero
| f = L Kb LT u | (4) |
Pertanto nel sistema di riferimento globale la matrice di rigidezza K risulta essere:
K = L Kb LT
Se il beam ha il primo punto nell’origine ed il secondo punto con coordinate sferiche (
) e si sceglie un sistema di riferimento locale con:
L’asse x’ coincidente con il beam.
L’asse y’ parallelo al piano xy
L’asse z’ ortogonale a x’ e a y’
la matrice delle rotazioni nello spazio a tre dimensioni è:
Pertanto:
A partire dalle (3) scitte per ogni beam nel sistema di riferimento globale si costruisce la matrice di rigidezza totale A da cui è possibile ricavare le forze applicate in ogni nodo a partire dagli spostamenti.
Cioè:
 |
(3) |
dove:
f1 , f2 , .. , fn sono le forze ed i momenti applicati ad ogni nodo.
s1 , s2 , .. , sn sono gli spostamenti e le rotazioni di ogni nodo.
In questo sistema di equazioni sono note le forze ed i momenti dei i nodi non vincolari e gli spostamenti e le rotazioni nulle per i nodi vincolati.
Nel caso in cui le forze siano distribuite lungo i beam le forze da applicare ai nodi sono le reazioni vincolari che si otterrebbero considerando il beam incastato-incastrato.
La (3) può essere scritta nel seguente modo:
dove
f1 , f1 , .. , fk sono i termini noti, cioè le forze ed i momenti applicati ai nodi non vincolati,
s1 , s1 , .. , sk sono gli spostamenti e le rotazioni incognite dei nodi non vincolati.
In definitiva si ottiene il sistema:
che viene risolto numericamente con il metodo di Choleski.
Analisi dinamica
I modi di vibrare della struttura sono calcolati mediante soluzione dell’equazione matriciale:
[K-λM]ψ = 0 (4)
Dove:
ψ = autovettore
λ = autovalore
M = matrice delle masse
K = matrice delle rigidezze
Gli spostamenti dell’i-esimo modo hanno la forma:
ui(t) = ψi pi sin(ωi t + φi)
con:
ω2= λ
φ = fase
p = ampiezza (scalare)
t = tempo (variabile indipendente)
La (4.2) è risolta con il metodo di interazione nel sottospazio abbinato al metodo di Jacobi generalizzato[2].
Per la costruzione della matrice M le masse sono considerate concentrate nei nodi e sono trascurate le masse rotazionali.
Calcolo sollecitazioni modali [3]
Per ogni autovalore λi esistono infiniti autovettori ψi proporzionali tra loro.
Nel seguito ci si riferisce alla forma ψi ortonormalizzata ad 1 con M, ovvero che verifica la:
ψiT M ψi = 1
La matrice diagonale M può essere scritta come:
M = Mx + My + Mz
dove: Mx [ My, Mz ] è la matrice delle sole masse traslazionali lungo x [lungo y, lungo z]
Si definisce il vettore
mx = Mxμ
dove μ è vettore con tutti elementi 1 e lunghezza pari alla dimensione della matrice M
Si definisce fattore di partecipazione modale lo scalare:
Lix = ψiT mx (5)
Si può definire lo scalare:
pix = Sx(Ti, ξ) Lix / λi (6)
dove:
Ti = 2*π/ ωi = periodo del modo i
La funzione Sx(T, ξ) è lo spettro di progetto in accelerazione del sisma x. (§ 3.2.3.2 NTC08)
Il vettore degli spostamenti massimi dovuti all’eccitazione del modo i da parte del sisma x è calcolato con:
uix max = pix ψi (7)
Nei tabulati di Jasp, per il modo i-esimo, sono riportate:
• le sollecitazioni calcolate a partire da spostamenti pari a ψi (espresso in metri)
• la tabella dei coefficienti pix denominati “coefficienti di amplificazione modali”.
La quota di massa partecipante del modo i al sisma x è lo scalare:
six = Lix2 / (μT mx) (8)
dove: μT mx è la somma delle masse sismiche per il sisma x.
Per la combinazione degli effetti riguardanti i singoli modi si utilizza la combinazione quadratica completa come indicato nelle espressioni (7.3.3) e (7.3.4) delle NTC08.
Gli effetti dell'eccentricità accidentale del centro di massa sono calcolati mediante l'analisi statica come indicato nel § 7.3.3.1 delle NTC08.
[2]: Bathe-Wilson, "Numerical Methods in Finite Element Analysis", 1976, §12.3 – Prentice-Hall
[3]: Paolo Rugarli, "Analisi modale ragionata", 2005, §9.1, - EPC Libri
