Oscillazioni Telaio shear type 6 piani

L’oggetto di questo esempio è un telaio di tipo shear type (con traversi rigidi) bidimensionale di 6 piani. Si calcoleranno gli autovalori e gli autovettori con Jasp e manualmente con l’ausilio del software Octave.

La strutture in oggetto è la seguente (file shear-type-6.jas)

struttura 6 pilastri 2 piani

Le caratteristiche dei materiali sono le seguenti:

  • E = 29962 N/mm2
  • ν = 0.2
  • ρ = 2500 Kg/m3

Le caratteristiche geometriche della struttura sono:

  • L = 3×4 m = 12m
  • H = 6×3.2 m = 19.2 m
  • Le travi hanno sezione 30cm×60cm
  • I pilastri hanno sezione quadrata 25cm×25cm

Le masse totali dei piani sono:

Piano Massa [Kg] Simbolo
1 21320 m1
2 21320 m2
3 21320 m3
4 21320 m4
5 21320 m5
6 20320 m6

Le rigidezze totali dei piastri, per piano, calcolate con la formula 12EI/L3, sono:

Piano inf Piano Sup Rigidezza [Nm] Simbolo
0 1 1.429E+07 k1
1 2 1.429E+07 k2
2 3 1.429E+07 k3
3 4 1.429E+07 k4
4 5 1.429E+07 k5
5 6 1.429E+07 k6

Per i telai con traversi rigidi le matrici delle masse e delle rigidezze sono:


Il calcolo degli autovalori e degli autovettori è fatto con Octave, un software gratuito per il calcolo matriciale, in parte simile e compatibile con MatLab.

Il file di input per Octave (shear-type-6.m) è:

M = [   21320 ,      0 ,      0 ,      0 ,      0 ,      0;
            0 ,  21320 ,      0 ,      0 ,      0 ,      0;
            0 ,      0 ,  21320 ,      0 ,      0 ,      0;
            0 ,      0 ,      0 ,  21320 ,      0 ,      0;
            0 ,      0 ,      0 ,      0 ,  21320 ,      0;
            0 ,      0 ,      0 ,      0 ,      0 ,  20320]
			
K = [ 2857E+4 ,-1429E+4 ,       0 ,       0 ,       0 ,       0;
     -1429E+4 , 2857E+4 ,-1429E+4 ,       0 ,       0 ,       0;
            0 ,-1429E+4 , 2857E+4 ,-1429E+4 ,       0 ,       0;
            0 ,       0 ,-1429E+4 , 2857E+4 ,-1429E+4 ,       0;
            0 ,       0 ,       0 ,-1429E+4 , 2857E+4 ,-1429E+4;
            0 ,       0 ,       0 ,       0 ,-1429E+4 , 1429E+4]
 
[PSI,LAMBDA]=eig(K,M)
 
T=2*pi./sqrt(diag(LAMBDA))

L’ output risulta essere:

M =

   21320       0       0       0       0       0
       0   21320       0       0       0       0
       0       0   21320       0       0       0
       0       0       0   21320       0       0
       0       0       0       0   21320       0
       0       0       0       0       0   20320

K =

   28570000  -14290000          0          0          0          0
  -14290000   28570000  -14290000          0          0          0
          0  -14290000   28570000  -14290000          0          0
          0          0  -14290000   28570000  -14290000          0
          0          0          0  -14290000   28570000  -14290000
          0          0          0          0  -14290000   14290000

PSI =

  -9.1957e-004  2.5402e-003  -3.5665e-003  3.7665e-003  3.1060e-003  -1.7470e-003
  -1.7847e-003  3.7859e-003  -2.4823e-003  -9.6480e-004  -3.5615e-003  3.0998e-003
  -2.5443e-003  3.1021e-003  1.8388e-003  -3.5193e-003  9.7785e-004  -3.7529e-003
  -3.1534e-003  8.3737e-004  3.7622e-003  1.8663e-003  2.4403e-003  3.5591e-003
  -3.5759e-003  -1.8541e-003  7.7966e-004  3.0412e-003  -3.7760e-003  -2.5620e-003
  -3.7869e-003  -3.6007e-003  -3.2195e-003  -2.6453e-003  1.8895e-003  9.8667e-004

LAMBDA =

Diagonal Matrix

     39.182          0          0          0          0          0
          0    341.121          0          0          0          0
          0          0    873.550          0          0          0
          0          0          0   1511.748          0          0
          0          0          0          0   2108.618          0
          0          0          0          0          0   2529.309

T =

   1.00378
   0.34019
   0.21259
   0.16160
   0.13683
   0.12493

Confronto con Jasp

Gli autovalori e gli autovettori calcolati con Jasp sono:

Spostamenti x [mm] (Autovettori)
Modo Piano 1 Piano 2 Piano 3 Piano 4 Piano 5 Piano 6
1 0.84502 1.7003 2.4644 3.0895 3.5367 3.7793
2 2.4041 3.7151 3.1291 0.94186 -1.737 -3.553
3 3.4532 2.5793 -1.669 -3.712 -0.86558 3.1415
4 -3.718 0.78938 3.5165 -1.716 -3.048 2.5523
5 3.1368 -3.438 0.84197 2.474 -3.69 1.8082
6 1.7885 -3.081 3.6822 -3.465 2.4699 -0.93503

Modi


Gli autovettori ottenuti con Octave, in mm, sono:

Modo Piano 1 Piano 2 Piano 3 Piano 4 Piano 5 Piano 6
1 -0.91957 -1.78475 -2.54434 -3.15342 -3.57595 -3.78694
2 2.54024 3.78588 3.1021 0.83737 -1.85411 -3.60067
3 -3.56654 -2.48233 1.83883 3.76216 0.77966 -3.21952
4 3.76645 -0.9648 -3.51931 1.8663 3.04125 -2.64533
5 3.10602 -3.56154 0.97785 2.44028 -3.77602 1.88952
6 -1.74704 3.09979 -3.75295 3.5591 -2.56199 0.98667

I periodi calcolati con Jasp sono superiori a quelli calcolati manualmente perché il modello in Jasp ha rigidezza minore rispetto al modello shear-type.

Per controllo si può aumentare di 1000 volte il modulo E dei traversi in modo da avvicinarsi maggiormente all’ipotesi ditraversi infinitamente rigidi (file: shear-type-6-2.jas)

I risultati ottenuti con Jasp per il nuovo modello sono:

Spostamenti x [mm] (Autovettori)
Modo Piano 1 Piano 2 Piano 3 Piano 4 Piano 5 Piano 6
1 0.90057 1.7582 2.5208 3.1422 3.5847 3.8216
2 -2.531 -3.781 -3.124 -0.88913 1.803 3.6021
3 3.5713 2.5092 -1.805 -3.762 -0.81564 3.2014
4 -3.766 0.9586 3.5341 -1.84 -3.061 2.62
5 -3.113 3.5575 -0.96757 -2.457 3.7738 -1.871
6 1.7484 -3.105 3.7553 -3.559 2.5541 -0.97436

I valori coincidono con quelli calcolati "manualmente" con Octave.

Conclusioni

L’analisi dinamica condotta con Jasp risulta in linea con le aspettative.