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Oscillazioni Telaio shear type 6 piani

L’oggetto di questo esempio è un telaio di tipo shear type (con traversi rigidi) bidimensionale di 6 piani. Si calcoleranno gli autovalori e gli autovettori con Jasp e manualmente con l’ausilio del software Octave.

La strutture in oggetto è la seguente (file shear-type-6.jas)

Le caratteristiche dei materiali sono le seguenti:

• E = 29962 N/mm²
• ν = 0.2
• ρ = 2500 Kg/m³

Le caratteristiche geometriche della struttura sono:

• L = 3×4 m = 12m
• H = 6×3.2 m = 19.2 m
• Le travi hanno sezione 30cm×60cm
• I pilastri hanno sezione quadrata 25cm×25cm

Le masse totali dei piani sono:

Piano	Massa [Kg]	Simbolo
1	21320	m1
2	21320	m2
3	21320	m3
4	21320	m4
5	21320	m5
6	20320	m6

Le rigidezze totali dei piastri, per piano, calcolate con la formula 12EI/L³, sono:

Piano inf	Piano Sup	Rigidezza [Nm]	Simbolo
0	1	1.429E+07	k1
1	2	1.429E+07	k2
2	3	1.429E+07	k3
3	4	1.429E+07	k4
4	5	1.429E+07	k5
5	6	1.429E+07	k6

Per i telai con traversi rigidi le matrici delle masse e delle rigidezze sono:

Il calcolo degli autovalori e degli autovettori è fatto con Octave, un software gratuito per il calcolo matriciale, in parte simile e compatibile con MatLab.

Il file di input per Octave (shear-type-6.m) è:

M = [   21320 ,      0 ,      0 ,      0 ,      0 ,      0;
            0 ,  21320 ,      0 ,      0 ,      0 ,      0;
            0 ,      0 ,  21320 ,      0 ,      0 ,      0;
            0 ,      0 ,      0 ,  21320 ,      0 ,      0;
            0 ,      0 ,      0 ,      0 ,  21320 ,      0;
            0 ,      0 ,      0 ,      0 ,      0 ,  20320]
			
K = [ 2857E+4 ,-1429E+4 ,       0 ,       0 ,       0 ,       0;
     -1429E+4 , 2857E+4 ,-1429E+4 ,       0 ,       0 ,       0;
            0 ,-1429E+4 , 2857E+4 ,-1429E+4 ,       0 ,       0;
            0 ,       0 ,-1429E+4 , 2857E+4 ,-1429E+4 ,       0;
            0 ,       0 ,       0 ,-1429E+4 , 2857E+4 ,-1429E+4;
            0 ,       0 ,       0 ,       0 ,-1429E+4 , 1429E+4]
 
[PSI,LAMBDA]=eig(K,M)
 
T=2*pi./sqrt(diag(LAMBDA))

L’ output risulta essere:

M =

   21320       0       0       0       0       0
       0   21320       0       0       0       0
       0       0   21320       0       0       0
       0       0       0   21320       0       0
       0       0       0       0   21320       0
       0       0       0       0       0   20320

K =

   28570000  -14290000          0          0          0          0
  -14290000   28570000  -14290000          0          0          0
          0  -14290000   28570000  -14290000          0          0
          0          0  -14290000   28570000  -14290000          0
          0          0          0  -14290000   28570000  -14290000
          0          0          0          0  -14290000   14290000

PSI =

  -9.1957e-004  2.5402e-003  -3.5665e-003  3.7665e-003  3.1060e-003  -1.7470e-003
  -1.7847e-003  3.7859e-003  -2.4823e-003  -9.6480e-004  -3.5615e-003  3.0998e-003
  -2.5443e-003  3.1021e-003  1.8388e-003  -3.5193e-003  9.7785e-004  -3.7529e-003
  -3.1534e-003  8.3737e-004  3.7622e-003  1.8663e-003  2.4403e-003  3.5591e-003
  -3.5759e-003  -1.8541e-003  7.7966e-004  3.0412e-003  -3.7760e-003  -2.5620e-003
  -3.7869e-003  -3.6007e-003  -3.2195e-003  -2.6453e-003  1.8895e-003  9.8667e-004

LAMBDA =

Diagonal Matrix

     39.182          0          0          0          0          0
          0    341.121          0          0          0          0
          0          0    873.550          0          0          0
          0          0          0   1511.748          0          0
          0          0          0          0   2108.618          0
          0          0          0          0          0   2529.309

T =

   1.00378
   0.34019
   0.21259
   0.16160
   0.13683
   0.12493

Confronto con Jasp

Gli autovalori e gli autovettori calcolati con Jasp sono:

Spostamenti x [mm] (Autovettori)

Modo	Piano 1	Piano 2	Piano 3	Piano 4	Piano 5	Piano 6
1	0.84502	1.7003	2.4644	3.0895	3.5367	3.7793
2	2.4041	3.7151	3.1291	0.94186	-1.737	-3.553
3	3.4532	2.5793	-1.669	-3.712	-0.86558	3.1415
4	-3.718	0.78938	3.5165	-1.716	-3.048	2.5523
5	3.1368	-3.438	0.84197	2.474	-3.69	1.8082
6	1.7885	-3.081	3.6822	-3.465	2.4699	-0.93503

Modo	Piano 1	Piano 2	Piano 3	Piano 4	Piano 5	Piano 6
1	-0.91957	-1.78475	-2.54434	-3.15342	-3.57595	-3.78694
2	2.54024	3.78588	3.1021	0.83737	-1.85411	-3.60067
3	-3.56654	-2.48233	1.83883	3.76216	0.77966	-3.21952
4	3.76645	-0.9648	-3.51931	1.8663	3.04125	-2.64533
5	3.10602	-3.56154	0.97785	2.44028	-3.77602	1.88952
6	-1.74704	3.09979	-3.75295	3.5591	-2.56199	0.98667

I periodi calcolati con Jasp sono superiori a quelli calcolati manualmente perché il modello in Jasp ha rigidezza minore rispetto al modello shear-type.

Per controllo si può aumentare di 1000 volte il modulo E dei traversi in modo da avvicinarsi maggiormente all’ipotesi ditraversi infinitamente rigidi (file: shear-type-6-2.jas)

I risultati ottenuti con Jasp per il nuovo modello sono:

Spostamenti x [mm] (Autovettori)

Modo	Piano 1	Piano 2	Piano 3	Piano 4	Piano 5	Piano 6
1	0.90057	1.7582	2.5208	3.1422	3.5847	3.8216
2	-2.531	-3.781	-3.124	-0.88913	1.803	3.6021
3	3.5713	2.5092	-1.805	-3.762	-0.81564	3.2014
4	-3.766	0.9586	3.5341	-1.84	-3.061	2.62
5	-3.113	3.5575	-0.96757	-2.457	3.7738	-1.871
6	1.7484	-3.105	3.7553	-3.559	2.5541	-0.97436

I valori coincidono con quelli calcolati "manualmente" con Octave.

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