Piastra di Kirchhoff rettangolare appoggiata

In questo test viene effettuata l'analisi di una piastra rettangolare di Kirchhoff in cls, appoggiata ai 4 lati, utilizzando 3 modelli:

  • Soluzione analitica di Navier
  • Modello FEM con elementi piastra rettangolari a 4 nodi, 12gdl (ACM, Adini, Clough, Melosh - 1961-63)
  • Modello FEM con elementi piastra triangolari a 3 nodi, 9gdl (DKT, Discrete Kirchhoff Triangle, Batoz 1980-82)

Caratteristiche dei materiali:

  • Modulo di elasticità normale E = 30GPa
  • Coefficiente di Poissono υ = 0,20
  • q = 10000N/m²
  • Lato corto= a = 4,00 m
  • Lato lungo =b = 6,00 m
  • spessore= h = 0,20m

La soluzione analitica trovata da Navier(1820) è la seguente:


con

dove:

La soluzione numerica è trovata mediante l’ausilio del software Scilab, con il programma piastra_navier.sce di seguito riportato.

a=4;
b=6;
h=0.20;
q0 = 10000;
E = 30E9;
ni=0.20;

x=a/2;
y=b/2;
pi = %pi;
D=E*h^3/(12*(1-ni^2));
ks = 16*q0*a^4*b^4/(pi^6*D);
km = 16*q0*a^4*b^4/(pi^4);

s=0;
mx=0;
my=0;
n = 1;
nMax = 31;
while n<=nMax
    m = 1;
    while m<=nMax
        den = (n^2*a^2 + m^2*b^2)^2;
        sinA = sin(m*pi*x/a);
        sinB = sin(n*pi*y/b);
        knm = sinA*sinB/(m*n*den);
        s = s + ks*knm;
        mx = mx + km*knm*((m/a)^2 + ni*(n/b)^2);
        my = my + km*knm*(ni*(m/a)^2 + (n/b)^2);
        m = m+2;
    end;
    n = n+2;
end
s
mx
my

x=0;
y=0;
kmxy = -(1-ni)*16*q0*a^3*b^3/(pi^4);
mxy = 0;
n=1;
while n<=nMax
    m = 1;
    while m<=nMax
        den = (n^2*a^2 + m^2*b^2)^2;
        cosA = cos(m*pi*x/a);
        cosB = cos(n*pi*y/b);
        mxy = mxy + kmxy*cosA*cosB/den;
        m = m+2;
    end;
    n = n+2;
end
mxy
L’ output risulta essere:
 s  =

0.0009491
mx =

12536.906
my =

6809.9839
mxy =

- 7844.8961

Esecuzione effettuata.

La soluzione approssimata con Jasp (file: piastra_rettangolare.jas ) è stata trovata sia utilizzando elementi finiti triangolari a 3 nodi e 9gdl (DKT) che elementi finiti con 4 nodi e 12gdl (ACM). La mesh è stata ottenuta imponendo la lunghezza massima dei lati degli elementi <= 0,5m.
Per controllare la convergenza della serie di Navier sono stati fatti due calcoli: con n,m ≤ 21 e con n,m ≤ 31.

Entità calcolata Punto unità di misura Esatta
(Navier)
n,m ≤ 21
Esatta
(Navier)
n,m ≤ 31
Jasp DKT
3 nodi 9 gdl
Jasp ACM
4 nodi 12 gdl
spostamento verticale massimo (a/2;b/2) [mm] 0,9491 0,9491 0,942 0,943
momento flettente Mx (a/2;b/2) [kNm/m] 12,538 12,537 12,5 12,5
momento flettente My (a/2;b/2) [kNm/m] 6,813 6,810 6,81 6,78
momento flettente Mxy (0;0) [kNm/m] - 7,839 -7,845 -7,89 -7,50
Nodi Totali         171 108