Confronto beam - lastra in c.a.

In questo test viene effettuata l'analisi di una mensola in calcestruzzo armato utilizzando 3 modelli:

  • Beam di Timoshenko
  • Modello FEM con elementi lastra rettangolari a 4 nodi, 8gdl (Linear Strain Rectangle, LSR)
  • Modello FEM con elementi lastra triangolari a 3 nodi, 6gdl (Constant Strain Triangle, CST)

La struttura in oggetto è una mensola caricata all’estremo libero.


file: test_lastra_beam.jas

Per generare le mesh si sono scelti i seguenti parametri:

  • Lunghezza massima mesh sui 4 nodi principali= 0.1m
  • Lunghezza massima mesh = 0.4m
  • Coefficiente incremento mesh = 1.5

A partire dai parametri inseriti, Jasp ha generato in modo automatico le mesh visualizzate.

  • Parametri di calcolo:
  • Materiale CLS C20/25
  • Modulo di elasticità 29962 N/mm²
  • Coefficiente di Poisson = 0,2
  • Densità materiale = 0 Mg/m³ (per semplicità)
  • Carico in sommità 40kN di carico permanente non strutturale.

Dati geometrici:

  • Sezione: 100cm × 25 cm = h × b;
  • Altezza mensola: H= 5m

Per prima cosa possiamo confrontare gli spostamenti.

spostamento CST-beam

  • Beam di Timoshenko : 2.75mm
  • Elementi rettangolari a 4 nodi (LSR): 2.63mm
  • Elementi triangolari a 3 nodi (CST): 2.45 mm

I risultati sono in linea con le aspettative: Si può notare come l’elemento CST sia più rigido dell’elemento rettangolare LSR.

Infittendo la mesh gli spostamenti convergono.


file: test_lastra_beam_fitto.jas

Passiamo adesso a calcolare le tensioni all’interno del materiale

Per poter confrontare i valori dei modelli FEM con
σ = 0.5·h·F·H/(bh³/12) = 0,5·1·40000·5/(1³·0,25/12) = 100000/0.0208 = 4,8MN/m² = 4,8 N/mm²
τ = 1,5·F/(bh) = 1,5·40000/(1·0,25) = 60000/0.25 = 0,24MN/m² = 0,24 N/mm²

La tensione σmax calcolataalla basse della mensola calcolate con Jasp risulta essere

Elementi triangolari a 3 nodi (CST): 5,1 N/mm²
Elementi rettangolari a 4 nodi (LSR): 5,4 N/mm²

In questo caso però gli incastrialla base bloccano le deformazioni della mensola lungo l’asse x, pertanto i valori del modello FEM non convergono alle tensioni calcolate manualmente con la Formuladi Navier.

Possiamo continuare il confronto scegliendo una sezione posta ad 1m di distanza dall’incastro (z=1m). .

Con la formula di Navier si ha:

σ = 0.5·h·F·H/(bh³/12) = 0,5·1·40000·4/(1³·0,25/12) = 100000/0.0208 = 4,8MN/m² = 3,84 N/mm²

Confronto tensioni modello FEM con valori teorici (per la sezione z = 1m)

Valore Analitico Jasp CST Errore CST Jasp LSR Errore LSR
σy
3,84
3,31
-13.8%
3,59
-6.5%
τxy
0,24
0,1375
-17,50%
0,13264
-20%

I valori convergono a quelli teorici se si infittisce la mesh (per la sezione z = 1m).

Valore Analitico Jasp CST Jasp LSR
σy 3,84 3,8 3,86
τxy 0,24 0,237 0,234

 

Verifiche

Materiali: B450C; fyk = 450 MPa ; fyd = 391,3 MPa;

Si procede con la verifiche per la sezione z=1m, considerando le tensioni calcolate con il modello LSR non infittito.

Verifica Fe

Armatura tesa Ø12/12 + Ø12/5 su doppio strato: ρ = 2( 113/120+ 113/50)/250 =0.0256

Coefficiente verifica Fe = 1.5 σy/( ρ * fyd) = 1.5*3,59/(0.0256*390) = 0.53

I risultati ottenuti da Jasp, sono:

I valori in tabella sono normalizzata ad 1m di piastra. I risultati ottenuti dal programma coincidono con quelli calcolati manualmente.

Verifica armatura taglio.

Armatura presenteØ8/30 su doppio strato: ρ =2×50/(300×250) =0.00133

Coefficiente verifica Fe = 1.5 τxy /(ρ fyd) = 1.5×0.191/(0.00133×390) = 0.552                (F.2 EC2)

Verifica CLS

Armatura presenteØ12/12 su doppio strato ρ =2*113/(250*120)=0.007533

fcd = αcc·fck /γc = 0.85·20/1.5 = 11.33 N/mm²

Coefficiente verifica compressione = 1.5 σy/( fcd + ρ fyd) = 1,50×3,59/(11.33 + 0.007533×390 ) =0.377