Trave di Winkler di lunghezza infinita

In questa pagina è riportato un test effettuato con Jasp relativo alle fondazioni su suolo di Winkler. Si considera in particolare una trave di Winkler di lunghezza infinita sottoposta ad una forza P0 e ad un momento M0 nel punto x = 0. La soluzione teorica viene confrontata con quella fornita dal software.

Ponendo:

λ4 = K/(4EI)

e definendo le seguenti funzioni:

  • f1(x) = e x(cosλx + sin λx)
  • f2(x) = e x(sin λx)
  • f3(x) = e x(cosλx - sin λx)
  • f4(x) = e x(cosλx)

nel caso di applicazione della forza P0 la soluzione, in termini di spostamenti, rotazione, momento e taglio è:

  • y(x) = f1(x) λP0/(2K)
  • θ(x) = -f2(x) λ2P0/K
  • M(x) = f3(x) P0/(4λ)
  • V(x) = -f4(x) P0/2

e nel caso di applicazione della forza M0 la soluzione, in termini di spostamenti, rotazione, momento e taglio è:

  • y(x) = f2(x) λ2M0/K
  • θ(x) = f3(x) λ3M0/K
  • M(x) = f4(x) M 0/2
  • V(x) = -f1(x) λM0/2

I primi punti diversi da zero in cui le funzioni f1(x), f2(x), f3(x), f4(x) si annullano sono:

  • x =3l/4 => f1(x) = e x(cosλx + sin λx) = 0
  • x =l => f2(x) = e x(sin λx) = 0
  • x =l/4 => f3(x) = e x(cosλx - sin λx) =1
  • x =l/2 => f4(x) = e x(cosλx) =1

con l =2π/λ.

Esempio

Trave di calcestruzzo armato di lunghezza infinita, con base di 50cm ed altezza di 30cm, su suolo di Winkler con K1=100N/cm3 sottoposta ad una forza P0 = 10000N e ad un momento M 0 = 10000Nm

  • E = 31447 N/mm2 = 3144700 N/cm2
  • I = 112500 cm4
  • K = K1·B = 50cm·100N/cm3 = 5000 N/cm2
  • λ = [K/(4EI)]1/4 = [K/(4EI)]1/4 = 0,00771cm-1 = 0,771 m-1
  • l =2π/λ = 8,15m = lunghezza d'onda.

Calcoliamo quindi il valore delle soluzioni nell'origine (x=0).

Nel caso di applicazione della forza P0= 10000N la soluzione per x=0, in termini di spostamenti, momento e taglio diventa:

  • y(x) = f1(x) λP0/(2K) = λP0/(2K) = 0,00771·10000/(2·5000) cm = 0,00771cm
  • M(x) = f3(x) P0/(4λ) = 10000/(4·0,771) = 3242Nm
  • V(x) = -f4(x) P0/2 = -5000N

Nel caso di applicazione della forza M0 la soluzione, in termini di spostamenti, momento e taglio diventa:

  • y(x) = f2(x) λ2M0/K = 0
  • M(x) = f4(x) M 0/2 = 5000Nm
  • V(x) = -f1(x) λM0/2 = - 0,771·10000/2 = -3855N

Il calcolo con Jasp viene effettuato con due travi di Winkler di cemento di classe C25/30 (Rck 30) e con lunghezza 10m per ogni trave. Download file jas. Come mostrato nei seguenti diagrammi la soluzione fornita da Jasp coincide con quella teorica.

Diagrammi con P0= 10000N

Diagramma spostamenti trave Winkler infinita con forza concentrata

diagramma momanti flettenti trave di Winkler infinita con forza concentrata

diagramma taglio trave Winkler infinita con forza concentrata

 

Diagrammi con M 0= 10000Nm

Diagramma spostamenti trave Winkler infinita sottoposta a momento concentrato

Diagramma momento flettentetrave Winkler infinita sottoposta a momento concentrato

Diagramma taglio trave Winkler infinita sottoposta a momento concentrato