Combinazione Quadratica Completa

In questo esempio, per la struttura in figura (file edificioCQC.jas), si è calcolato il taglio sui pilastri inferiori dovuto al sisma nella direzione X come Combinazione Quadratica Completa del taglio dei singoli modi.

Le dimensioni di interesse della struttura sono:

Piano Quota [m] Pilastri K [Nm] Massa [Kg]
H [m] Bx [cm] By [cm]
1 3,00 3,00 12 35 25 171282767 74034
2 7,40 4,40 6 30 25 9892483 30692
3 7,50 4,50 6 25 25 7706276 29127

I calcoli sono fatti utilizzando l’ipotesi di telaio share-type (travi rigide) con Octave ed il risultato finale è confrontato con quello ottenuto con Jasp.

I calcoli eseguiti, e la simbologia usata, fanno riferimento alla procedura descritta nella pagina ilcodice#analisi_dinamica.

Le variabili utilizzate sono:
M = matrice delle masse;
K = matrice delle rigidezze;
PSI = matrice degli autovettori, ogni vettore colonna è un autovettore;
AMBDA = matrice diagonale con gli autovalori
T = vettore dei periodi
U = vettore di elementi 1
m = vettore con le masse per piano;
L = vettore dei fattori di partecipazione modali
mtot = massa totale.
s = vettore con le quote di massa partecipante
a = vettore con le accelerazioni come da spettro di progetto,
p = vettore dei coefficienti di amplificazione modale come definiti nella (6),pagina ilcodice#analisi_dinamica
F = vettore delle forze sismiche modali
Vpsi = vettore del taglio dei modi sui pilastri inferiori
Vpil = vettore del taglio dei modi scalato,per ogni pilastro inferiore.

Il file di input per Octave (CQC.m) è

m1=74034;
m2=30692;
m3=29127;
M = [ m1,  0,  0;
       0, m2,  0;
       0,  0, m3]
k1=171282767;
k2=9892483;
k3=7706276;
K = [  k1+k2+k3, -k2, -k3;
            -k2,  k2,   0;
            -k3,  0,   k3]
[PSI,LAMBDA]=eig(K,M)
T=2*pi./sqrt(diag(LAMBDA))
Itest = PSI'*M*PSI
U=[1;1;1]
m=M*U
L = PSI'*m
mtot = U'*m
s = L.^2/mtot
a = [0.900642736; 0.900642736; 1.055783939]
p = a.*L./diag(LAMBDA)
F = K*PSI
Vpsi = U'*F
Vpil = (Vpsi.*p')./12

L’ output risulta essere:

M =
   74034       0       0
       0   30692       0
       0       0   29127

K =
   188881526    -9892483    -7706276
    -9892483     9892483           0
    -7706276           0     7706276

PSI =
  3.4095e-004  -2.5389e-004  3.6506e-003
  1.4898e-003  -5.4855e-003  -5.2065e-004
  5.6301e-003  1.5687e-003  -4.1674e-004

LAMBDA =
Diagonal Matrix
    248.55         0         0
         0    307.40         0
         0         0   2582.22

T =
   0.39854
   0.35837
   0.12365

Itest =
  1.0000e+000  4.1742e-018  6.6841e-017
  2.7539e-017  1.0000e+000  -2.4306e-016
  5.8201e-017  -2.4681e-016  1.0000e+000

U =
   1
   1
   1

m =
   74034
   30692
   29127

L =
   234.96
  -141.47
   242.15

mtot =  133853
s =
   0.41243
   0.14952
   0.43806

a =
   0.90064
   0.90064
   1.05578

p =
   0.851374
  -0.414488
   0.099006

F =
  6.2740e+003  -5.7780e+003  6.9789e+005
  1.1365e+004  -5.1754e+004  -4.1264e+004
  4.0760e+004  1.4045e+004  -3.1344e+004

Vpsi =
  5.8399e+004  -4.3487e+004  6.2528e+005

Vpil =
   4143.3   1502.1   5158.9

Le accelerazioni sismiche sono calcolate dallo spettro di progetto:

Il taglio di progetto è calcolato, come prescritto dal § 7.3.3.1 mediante la combinazione quadratica completa dei tagli, ossia utilizzando l’espressione:

Con il coefficiente di correlazione ρij tra il modi i ed il modo j calcolato con la formula:

Dove:
ξ è lo smorzamento viscoso dei modi i e j;
βij è il rapporto tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi (βij = Tj/Ti).

I calcoli sono fatti con il seguente foglio elettronico:

Confronto con Jasp

Il valore calcolato con Jasp è 7226.8 N